Question

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-，設動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，是否存在定點S（s，0），使得為定值，若存在求出s的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（I）設M點坐標為（x，y）
∵定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，
∴
∴
∴曲線C的方程為；
（II ）當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
由，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴
∵，
∴
若存在定點S（s，0），使得為定值，則=4
∴s=-，此時定值為
當動直線l的斜率不存在時，P（-1，），Q（-1，-），可知s=-時，=
綜上知，存在定點S（-，0），使得為定值．
分析：（I）根據定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（II ）當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）與橢圓方程聯立，用坐標表示出，要使存在定點S（s，0），使得為定值，則使=4即可，再驗證斜率不存在情況也成立．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是用坐標表示出，進而確定定值．