Question

已知f(x)=3-2|x|，g(x)=x 2-2x，F(x)=

g(x)，當f(x)≥g(x)時 f(x)，當f(x)＜g(x)時

，則F（x）的最值是（　　）

• A．最大值為3，最小值-1
• B．最大值為7-2

  7

  ，無最小值
• C．最大值為3，無最小值
• D．既無最大值為，也無最小值

Answer 1

分析：將函數f（x）化簡，去掉絕對值后，分別解不等式f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x），得到相應的x的取值范圍．最后得到函數F（x）在三個不同區間內分段函數的表達式，然后分別在三個區間內根據單調性，求出相應式子的值域，最后得到函數F（x）在R上的值域，從而得到函數有最大值而無最小值．

解答：解：f（x）=3-2|x|=

3-2x    (x≥0) 3+2x   (x＜0)

①當x≥0時，解f（x）≥g（x），得3-2x≥x²-2x⇒0≤x≤

3

；
解f（x）＜g（x），得3-2x＜x²-2x⇒x＞

3

．
②當x＜0，解f（x）≥g（x），得3+2x≥x²-2x⇒2-

7

≤x＜0；
解f（x）＜g（x），得3+2x＜x²-2x⇒x＜2-

7

；
綜上所述，得F(x)= 

3+2x      (x＜2- 7 ) x2-2x     (2- 7 ≤x≤ 3 )  3-2x       (x＞ 3 )

分三種情況討論：
①當x＜2-

7

時，函數為y=3+2x，在區間（-∞，2-

7

）是單調增函數，故F（x）＜F（2-

7

）=7-2

7

；
②當2-

7

≤x≤

3

時，函數為y=x²-2x，在（2-

7

，1）是單調增函數，在（1，

3

）是單調減函數，
故-1≤F（x）≤2-

7

③當x＞

3

時，函數為y=3-2x，在區間（

3

，+∞）是單調減函數，故F（x）＜F（

3

）=3-2

3

＜0；
∴函數F（x）的值域為（-∞，7-2

7

]，可得函數F（x）最大值為F（2-

7

）=7-2

7

，沒有最小值．
故選B

點評：本題以含有絕對值的函數和分段函數為載體，考查了函數的值域與最值的求法、基本初等函數的單調性和值域等知識點，屬于中檔題．