Question

【題目】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10 cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）
（Ⅰ）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；
（Ⅱ）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設玻璃棒在CC1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，
在平面ACM中，過N作NP∥MC，交AC于點P，
∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，
又∵AC平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2 ， 解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴ = ， ，得AN=16cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm．
（Ⅱ）設玻璃棒在GG1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，
在平面E1EGG1中，過點N作NP⊥EG，交EG于點P，
過點E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于點Q，
∵EFGH﹣E1F1G1H1為正四棱臺，∴EE1=GG1 ， EG∥E1G1 ，
EG≠E1G1 ，
∴EE1G1G為等腰梯形，畫出平面E1EGG1的平面圖，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得：E1E=40cm，
∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，
根據正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，
∴EN= = =20cm．
∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm．


【解析】（Ⅰ）設玻璃棒在CC1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，過N作NP∥MC，交AC于點P，推導出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推導出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長度．
（Ⅱ）設玻璃棒在GG1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，過點N作NP⊥EG，交EG于點P，過點E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于點Q，推導出EE1G1G為等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l沒入水中部分的長度．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握正弦定理:；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．