Question

【題目】經統計分析，我市城區某擁擠路段的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數.當該路段的車流密度達到180輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為40千米/小時；當時，車流速度v是車流密度x的一次函數.

（1）當時，求函數的表達式；

（2）當車流密度x為多大時，該擁擠路段車流量（單位時間內通過該路段某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）.

Answer 1

【答案】（1）（2）當車流密度為時，車流量可以達到最大，最大值為2025輛/小時

【解析】

（1）根據自變量的取值不同，根據題意，寫成分段函數；

（2）由（1）求得，從而得到，考慮其單調性，從而求解最大值.

（1）由題意，當時，；

當時，設.

由已知得，

解得.

故函數的表達式為

.

（2）依題意及（1）可得，

.

當時，為增函數，

故當時，其最大值為；

當時，

.

所以當時，

在區間上取得最大值2025.

綜上，當時，

在區間上取得最大值，

即當車流密度為90輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值為2025輛/小時.