Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}的前n項和Sn=log3(

an

9n

)(n∈N*)．
（I）求數列{b_n}的通項公式；
（II）求數列{|b_n|}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）對a_n=a_n-1•3^n-1（n≥2，∈N^*_）兩邊取以3為底的對數得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），用累加法求出log3an=

n(n-1)

2

，從而Sn=

n2-5n

2

(n∈N*)，再根據數列中項與和的關系求出b_n=n-3．
（Ⅱ）利用等差數列的判定、求和公式進行計算，注意分類討論．

解答：解：（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1•3^n-1，兩邊取以3為底的對數得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）移向得log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
log₃a₂-log₃a₁=1，
log₃a₃-log₃a₂=2，
…
log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
以上各式相加得（n≥2）
log3an-log3a1=1+2+…+(n-1)=

n(n-1)

2

，log3an=

n(n-1)

2

，且對n=1時也成立．
∴Sn=log3(

an

9n

)=

n2-5n

2

(n∈N*)
∴b₁=S₁=-2，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n-3，且對n=1時也成立
∴數列{b_n}的通項公式b_n=n-3（n∈N^*）．
（II）設數列{|b_n|}的前n項和為T_n，當bn=n-30≤0即n≤3時，Tn=-(b1+b2+…+bn)=-S  n=

5n-n2

2

；n＞3時，Tn=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+…+an)=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

點評：本題考查數列通項公式求解，數列求和，考查了累加法、對數的運算，分類討論的思想方法．