Question

各項均為正數的數列{a_n}中，前n項和Sn=(

an+1

2

)2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由Sn=(

an+1

2

)2，知S_n-1=(

an-1+1

2

)2 ，n≥2，由此得an=(

an+1

2

)2-（

an-1+1

2

）²，n≥2，從則能夠求出a_n=2n-1．
（2）由題意得k＞（

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

）_max，由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能夠證明k≥

1

2

．

解答：解：（1）∵Sn=(

an+1

2

)2，∴S_n-1=(

an-1+1

2

)2 ，n≥2，
兩式相減，得an=(

an+1

2

)2-（

an-1+1

2

）²，n≥2，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴an-an-1 =2，n≥2，
∴{a_n}是公差為2的等差數列，
又∵S₁=（

a1+1

2

）²，得a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（2）由題意得k＞（

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

）_max，
∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
∴k≥

1

2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式恒成立時實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．