Question

【題目】已知函數，其中為實數.

（1）當時，求函數在上的最大值和最小值；

（2）求函數的單調區間；

（3）若函數的導函數在上有零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最大值91，最小值；（2）答案見解析；（3）

【解析】

（1）當時，求出，利用導數判斷在上的單調性，再確定最大值最小值即可；

（2）求出，判斷時兩個根的關系，再分類討論求出的單調區間；

（3）由一元二次函數的性質討論對稱軸在區間內和兩側兩種情況，分別求出的范圍，再求并集即可.

（1）由題意，當時，，

所以，由，解得，，

，解得，，解得，或，

又，所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上有極小值即最小值，

，，所以最大值為；

（2）由題意，，

，解得，

①當，即時，恒成立；

②當，即時，

，解得，，解得，或；

③當，即時，

，解得，，解得，或；

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；

（3）由（2）知，,

函數的對稱軸為，

①當對稱軸在區間內時，只需，

而，

所以，即；

②當對稱軸在區間兩側時，此時

只需，

，

解得

所以，

綜上，