Question

函數(shù)f（x）和g（x）的定義域均為R，“f（x），g（x）都是奇函數(shù)”是“f（x）與g（x）的積是偶函數(shù)”的（　　）

A．充分但非必要條件

B．必要但非充分條件

C．充分必要條件

D．既非充分也非必要條件

Answer 1

分析：用定義證明f（x），g（x）同是奇函數(shù)，則f（x）乘以g（x）一定是偶函數(shù)，但f（x）乘以g（x）是偶函數(shù)，f（x），g（x）不一定同是奇函數(shù)，取f（x）=x-1，x∈R和g（x）=x+1，x∈R，它們都是非奇非偶函數(shù)，但是f（x）•g（x）=x²-1是偶函數(shù)．

解答：解：f（x）與g（x）同是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）
∴f（-x）g（-x）=f（x）g（x）
∴f（x）與g（x）的積是偶函數(shù)，
∴f（x），g（x）同是奇函數(shù)或同是偶函數(shù)則f（x）乘以g（x）一定是偶函數(shù)，
但f（x）乘以g（x）是偶函數(shù)，f（x），g（x）不一定同是奇函數(shù)．
取f（x）=x-1，x∈R和g（x）=x+1，x∈R，它們都是非奇非偶函數(shù)，但是f（x）•g（x）=x²-1是偶函數(shù)．
f（x），g（x）同是奇函數(shù)”是“f（x）乘以g（x）是偶函數(shù)”的充分不必要條件．
故選A．

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件，及函數(shù)的奇偶性的判斷，本題解題的關(guān)鍵是能夠應(yīng)用特列說明當兩個函數(shù)的積是偶函數(shù)時，兩個函數(shù)的奇偶性不能確定．