Question

設函數f(x)=cos(ωx+?)(ω＞0，-

π

2

＜?＜0)的最小正周期為π，且f(

π

4

)=

3

2

．
（1）求ω和?的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的取值范圍．
（3）寫出f（x）對稱中心．

Answer 1

分析：（1）利用y=cos（ωx+?）型函數的周期公式，可求得ω的值，利用f(

π

4

)=

3

2

，結合φ的范圍即可求得φ的值；（2）將內層函數看做整體，求內層函數的值域，再利用余弦函數的圖象和性質求函數的值域；（3）利用余弦曲線的對稱中心為（kπ+

π

2

，0），解方程即可得此函數的對稱中心

解答：解：（1）∵f(x)=cos(ωx+?)(ω＞0，-

π

2

＜?＜0)的最小正周期為π
∴

2π

ω

=π，ω=2
∵f(

π

4

)=

3

2

，∴cos(2×

π

4

+?)=

3

2

      (-

π

2

＜?＜0)
∴sinφ=-

3

2

，又-

π

2

＜φ＜0
∴φ=-

π

3

（2）f(x)=cos(2x-

π

3

)
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴-

1

2

≤f（x）≤1
（3）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z
得x=

1

2

kπ+

5π

12

，k∈Z
∴f（x）對稱中心為（

1

2

kπ+

5π

12

，0）

點評：本題考查了y=cos（ωx+?）型函數的圖象和性質，其周期公式和解析式的確定，函數值域的求法，對稱中心的求法，整體代換的思想方法