Question

【題目】已知函數（自然對數的底數）有兩個零點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若的兩個零點分別為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）將有兩個零點問題，轉化為有兩個零點，利用研究的單調性和零點，由此求得的取值范圍.

（2）將所要證明的不等式轉化為證明，構造函數，利用證得，由此證得不等式成立.

（1）有兩個零點，等價于有兩個零點，令，則在時恒成立，所以在時單調遞增，

所以有兩個零點，等價于有兩個零點.

因為所以

①當時，，單調遞增，不可能有兩個零點；

②當時，令，得，單調遞增；令，得，單調遞減.

所以.

若，得，此時恒成立，沒有零點；

若，得，此時有一個零點；

若，得，因為，且，，所以在，上各存在一個零點，符合題意.

綜上，當時，函數有兩個零點，

即若函數有兩個零點，則的取值范圍為.

（2）要證，只需證，即證，

由（1）知，，所以只需證.

因為，，所以，，

所以，只需證.

設，令，則，所以只需證，即證.

令，，則，.

即當時，成立.

所以，即，

即.