Question

已知數列中,,其前項和滿足

(1)求數列的通項公式;

(2)設為非零實數,,試確定的值,使得對任意,都有成立.

Answer 1

  解:(1)由已知,得(S_n+1-S_n)-(S_n-S_n-1)＝1(n≥2,n∈N^*),

即a_n+1-a_n＝1(n≥2,n∈N^*),且a₂-a₁＝1,

∴數列{a_n}是以a₁＝2為首項,公差為1的等差數列.

∴a_n＝n+1.                         ………………………………… 5分

(2)∵a_n＝n+1,

∴b_n＝4ⁿ+(-1)^n-1λ·2ⁿ⁺¹,要使b_n+1＞b_n恒成立.

∴b_n+1-b_n＝4ⁿ⁺¹-4ⁿ+(-1)ⁿλ·2ⁿ⁺²-(-1)^n-1λ·2ⁿ⁺¹＞0恒成立,

即3·4ⁿ-3λ·(-1)^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立.

∴(-1)^n-1λ＜2^n-1恒成立.                     ……………………………9分

①當n為奇數時,即λ＜2^n-1恒成立,當且僅當n＝1時,2^n-1有最小值為1,∴λ＜1.

②當n為偶數時,即λ＞-2^n-1恒成立,當且僅當n＝2時,-2^n-1有最大值-2,∴λ＞-2,

即-2＜λ＜1.又λ為非零整數,則λ＝-1.

綜上所述,存在λ＝-1,使得對任意n∈N^*,都有b_n+1＞b_n.    ………………12分