Question

已知

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，函數f(x)=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標；
（2）當0≤x≤

π

2

時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐標運算可求得f（x）=sin（2x-

π

3

），從而可求f（x）的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標；
（2）由0≤x≤

π

2

可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，從而可求得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

（cos2x+1）+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）                      …（2分）
∴f（x）的最小正周期為π，
令sin（2x-

π

3

）=0，，得2x-

π

3

=kπ，
∴x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z）．
故所求對稱中心的坐標為（

kπ

2

+

π

6

，0），（k∈Z）-…（4分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

≤

2π

3

 …（6分）
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
即f（x）的值域為[-

3

2

，1]…（8分）

點評：本題考查平面向量數量積的運算，考查兩角和與差的正弦函數，考查正弦函數的定義域和值域及其周期，屬于三角中的綜合，考查分析問題、解決問題的能力．