Question

【題目】設，已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）求函數在上的最小值；

（Ⅲ）若, 求使方程有唯一解的的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），則在上遞增，，則在在上遞減，上遞增，（Ⅱ）（Ⅲ）.

【解析】

（1）令大于0、小于0，討論a的范圍求解.

（2）直接由（1）的單調性得最小值.

（3）令，令得 ∴在遞減，上遞增，有唯一解， ∴．得到a與的關系，轉化為的方程，求得進而求得a.

（Ⅰ）定義域為，

，則在上遞增

，則在在上遞減，上遞增， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，時，在上是增函數，

∴；

②當時，在上遞減，上遞增，

∴；

綜上，

（Ⅲ）令，由題意，得方程有唯一解，又

，定義域為，

令得 ∴在遞減，上遞增，

有唯一解， ∴．

由即得，

設，易知在遞增，且

∴方程的解為即，解得，

故，當時，方程有唯一解時的值為．