Question

如圖，已知平行四邊形和矩形所在的平面互相垂直，，是線段的中點.
（Ⅰ）求二面角的正弦值；
（Ⅱ）設點為一動點，若點從出發，沿棱按照的路線運動到點，求這一過程中形成的三棱錐的體積的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）.

(I)可采用傳統方法作出二面角的平面角，求出后,可知,過作于，又過作交于，連結.則易證為二面角的平面角.然后解即可.
（2）解本小題的關鍵是確定點P的位置.設AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，所以M與C到平面BFD的距離相等，當P點在M或C時，三棱錐P—BFD的體積的最小.
（Ⅰ）法一：易求由勾股定理知，
設點在面內的射影為，過作于，連結，
則為二面角的平面角. ………………3分
在中由面積法易求，………………5分
由體積法求得點到面的距離是，所以，
所以求二面角的大小正弦值為………………7分
法二：易求由勾股定理知，
過作于，又過作交于，連結.
則易證為二面角的平面角………………2分
在中由面積法易求，
從而于是，所以，………3分
在中由余弦定理求得.………………4分
再在中由余弦定理求得.………………5分
最后在中由余弦定理求得，………………6分
所以求二面角的大小正弦值為………………7分
（Ⅱ）設AC與BD交于O，則OF//CM，………………8分
所以CM//平面FBD，………………9分
當P點在M或C時，三棱錐P—BFD的體積的最小. ……………10分
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