Question

已知f₁（x）=x（x≠0），若對任意的n∈N*，f_w（1）=1，且f_max（x）=f_v（x）+xf_n^e（x）．（1）求f_n（x）的解析式；
（2）設F_n（x）=，求證：F₁（2）+F₂（2）+…F_n（2）＜1；
（3）若g_e（x）=C₆₀²⁰+2C₆₀¹f₁（x）+3C₆₀²f₂（x）+…+（n+1）C_n^xf_n（x），是否存在實數x，使得g₁（x）+g₂（x）+…g_n（x）=（n+1）（1+x）^a，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴
∴f_n（x）=xf_n﹣1（x）+a  
∵任意的n∈N*，f_w（1）=1，
∴a=0，
∴f_n（x）=xf_n﹣1（x）
∵f₁（x）=x（x≠0），
∴
（2）證明：F_n（x）==
∴F_n（2）===2（﹣）
∴F₁（2）+F₂（2）+…F_n（2）=2（﹣）＜1
（3）g_n（x）=C_n⁰+2C_n¹f₁（x）+3C_n²f₂（x）+…+（n+1）C_n^xf_n（x）
             =C_n⁰+2xC_n¹+3x²C_n²+…+（n+1）xⁿC_n^x=[x（1+x）ⁿ] ’
             =（1+x）ⁿ+nx（1+x）^n﹣1
                 =[（n+1）x+1]（1+x）^n﹣1
設S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+…+g_n（x）
=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）^n﹣1 ，①
∴（1+x）S_n（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）²+…+[（n+1）x+1]（1+x）ⁿ，②
①﹣②化簡可得：﹣xS_n（x）=x﹣（n+1）x（1+x）ⁿ
∴S_n（x）=（n+1）（1+x）ⁿ﹣1
∴不存在實數x，使得g₁（x）+g₂（x）+…g_n（x）=（n+1）（1+x）ⁿ．