Question

已知f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N₊）
（1）求f₂（x），f₃（x）的表達式，猜想f_n（x）的表達式，并用數學歸納法證明；
（2）若關于x的函數g(x)=x2+f1(x)+f2(x)+…+fn(x)，(n∈N*)在區間（-∞，-1]上的最小值為12，求n．

Answer 1

分析：（1）利用f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，計算可得f₂（x），f₃（x）的表達式，猜想f_n（x）=x+n，再用數學歸納法證明即可；
（2）由f_n（x）=x+n，可得f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=nx+

n(n+1)

2

，再利用配方法確定函數在區間（-∞，-1]上的最小值為12，即可求得n的值．

解答：（1）解：f₂（x）=f₁[f₁（x）]=x+2，f₃（x）=f₁[f₂（x）]=x+3，
猜想f_n（x）=x+n
證明：①當n=1時，f₁（x）=x+1，成立；
②假設n=k時成立，即f_k（x）=x+k，則n=k+1時，f_k+1（x）=f₁[f_k（x）]=x+k+1
∴n=k+1時，結論成立
由①②可知f_n（x）=x+n；
（2）解：∵f_n（x）=x+n
∴f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=nx+

n(n+1)

2

∴g（x）=x²+f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=x²+nx+

n(n+1)

2

=（x+

n

2

）²+

n2+2n

4

①當-

n

2

＞-1，即n＜2時，函數在（-∞，-1]上為減函數，∴x=-1時，g（x）_min=

n2-n+2

2

=12，方程無正整數解舍去；
②當-

n

2

≤-1，即n≥2時，x=-

n

2

時，g（x）_min=

n2+2n

4

=12，∴n=6或n=-8（舍去）
綜上，n=6．

點評：本題考查學生的計算能力，考查數學歸納法，考查函數的最值，屬于中檔題．