Question

【題目】如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，平面ABCD⊥平面AEB，且四邊形ABCD為矩形．∠BAE=90°，AE=4，AD=2，F，G，H分別為BE，AE，AD的中點．

（Ⅰ）求證：CD∥平面FGH；

（Ⅱ）求證：平面FGH⊥平面ADE；

（Ⅲ）在線段DE求一點P，使得AP⊥FH，并求出AP的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據三角形中位線性質以及矩形性質得CD∥FG，再根據線面平行判定定理得結論，（Ⅱ）先根據線面垂直判定定理得AB⊥平面ADE，再根據平行得GF⊥平面ADE，最后根據面面垂直判定定理得結論，（Ⅲ）作AP⊥DE于P，再根據線面垂直判定與性質定理得AP⊥FH，再根據面面垂直性質定理得AE⊥平面ABCD，即得AE⊥AD，最后根據直角三角形解得AP的值．

（Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，CD∥AB，

∵F，G分別為BE，AE的中點，∴FG∥AB，∴CD∥FG，

∵CD平面FGH，FG平面FGH，

∴CD∥平面FGH．

（Ⅱ）證明：在矩形ABCD中，AD⊥AB，又∵∠BAE=90°，∴AB⊥AE，又AD∩AE=A

∴AB⊥平面ADE，又GF∥AB∴GF⊥平面ADE，

∵GF平面FGH，∴平面FGH⊥平面ADE．

（Ⅲ）作AP⊥DE于P，∵GF⊥平面ADE，且AP平面ADE，∴GF⊥AP，

∵G，H分別為AE，AD的中點，∴GH∥DE, ∵AP⊥DE∴GH⊥AP

∵GF∩GH=G，∴AP⊥平面FGH，

∵FH平面FGH，∴AP⊥FH，

∵矩形ABCD⊥平面AEB，且平面ABCD∩平面AEB=AB，

∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，

在直角三角形AED中，AE=4，AD=2，可求得．故AP的值為：．