Question

某電廠冷卻塔外形是如圖所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;

(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m3,塔壁厚度不計,π取3.14)

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）冷卻塔的容積為4.24×103(m3)

【解析】思路分析:設出雙曲線的方程,利用待定系數法求方程;利用定積分求旋轉體的體積.

解:(1)建立如圖所示的直角坐標系xOy,

使AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸.

設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),則a=AA′=7.

設B(11,y1),C(9,y2),因為點B,C在雙曲線上,所以有

=1,①

=1,②

由題意,知y2-y1=20.③

由①②③得y1=-12,y2=8,b=.故所求的雙曲線方程為

(2)由雙曲線方程得x2=y2+49.設冷卻塔的容積為V(m3),

則V=π=π(y3+49y)=4.25×103(m3).

答:冷卻塔的容積為4.24×103(m3).