Question

【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F為AB的三等分點(diǎn)，且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)P．

證明：平面平面PEF；

若，求PD與平面PFC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

推導(dǎo)出四邊形CDEF是平行四邊形，，，由，得，從而面PEF，由此能證明平面平面PEF．

在平面PEF內(nèi)作，垂足為O，取CD的中點(diǎn)M，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PD與平面PFC所成角的正弦值．

，，四邊形CDEF是平行四邊形，，

≌，，，

，，，，

，面PEF，

面PFC，平面平面PEF．

在平面PEF內(nèi)作，垂足為O，取CD的中點(diǎn)M，

由知平面PEF，故FC，平面CDEF，，，

，，，，，OF，OM兩兩垂直，

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，是等邊三角形，

0，，0，，2，，2，，

0，，2，，2，，

設(shè)y，是平面PFC的法向量，

則，取，得0，，

設(shè)PD與平面PFC所成角為，

則，

與平面PFC所成角的正弦值為．