Question

已知a∈R，函數f(x)=xln(-x)+(a-1)x，（注：[ln(-x)] ′=）
（Ⅰ）若f(x)在x=-e處取得極值，求函數f(x)的單調區間；
（Ⅱ）求函數f(x)在區間[-e²，-e^-1]上的最大值g(a)。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由題意知x=-e時，，即：， ∴a=-1，
∴，
令，可得x=-e；
令，可得x＜-e；
令，可得-e＜x＜0；
∴f（x）在（-∞，-e）上是增函數，在（-e，0）上是減函數。
（Ⅱ），

∴，
①若a≥1，則恒成立，此時f（x）在上是增函數，
；
②若a≤-2，則恒成立，此時f（x）在上是減函數，
 ；
③若-2＜a＜1，則令，可得，
∵是減函數，
∴當時，；當時，，
∴f（x）在上左增右減，
∴；
綜上：。