Question

“雪花曲線”因其形狀類似雪花而得名，它可以以下列方式產生，如圖，有一列曲線P₁，P₂，P₃…，，已知P₁是邊長為1的等邊三角形，P_n+1是對P_n進行如下操作得到：將P_n的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（n=1，2，3…）．
（1）記曲線P_1n的邊長和邊數分別為a_n和b_n（n=，1，2，…），求a_n和b_n的表達式；
（2）記S_n為曲線P_n所圍成圖形的面積，寫出S_n與S_n-1的遞推關系式，并求S_n．

Answer 1

分析：（1）結合圖形計算得到a1=3，a2=

1

3

，a3=

1

9

，…b₁=3，b₂=12，b₃=48…觀察歸納得到a_n=（

1

3

）^n-1，b_n=34^n-1．
（2）p_n的面積等于p_n-1的面積加上b_n-1個新增小三角形的面積，即sn=sn-1+bn-1×

3

4

an2，將b_n-1，a_n的表達式代入，利用累加法及等比數列的前n項和公式求出S_n．

解答：
解（1）：根據題意得到a1=3，a2=

1

3

，a3=

1

9

，…
b₁=3，b₂=12，b₃=48…
所以a_n=（

1

3

）^n-1，b_n=34^n-1
（2）因為p₂是在p₁的每條邊上再生出一個小正三角形，于是
s2=s1+3×

3

4

a22，
同理，對p_n是在p_n-1的每條邊上再生出一個小正三角形，
于是p_n的面積等于p_n-1的面積加上b_n-1個新增小三角形的面積，
即sn=sn-1+bn-1×

3

4

an2，
將b_n-1，a_n的表達式代入得到：S_n=S_n-1+

3

4

（

4

9

）^n-1S₁   
于是可以利用累加的方法得到 
 S_n=S_n-1+

3

4

（

4

9

）^n-1S₁    
 S_n-1=S_n-2+

3

4

（

4

9

）^n-2S₁    
 …
S₂=S₁+

3

4

•

4

9

S₁
將上面式子累加得
Sn=S1+

3

4

[

4

9

+(

4

9

)2+…+(

4

9

)N-1]S1
=[

8

5

-

3

5

(

4

9

)n-1]s1
=

3

4

[

8

5

-

3

5

(

4

9

)n-1]

點評：本題的關鍵是通過歸納得到p_n的面積等于p_n-1的面積加上b_n-1個新增小三角形的面積，，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力．屬于難題．