Question

【題目】某鮮花小鎮圈定一塊半徑為1百米的圓形荒地，準備建成各種不同鮮花景觀帶．為了便于游客觀賞，準備修建三條道路AB，BC，CA，其中A，B，C分別為圓上的三個進出口，且A，B分別在圓心O的正東方向與正北方向上，C在圓心O南偏西某一方向上．在道路AC與BC之間修建一條直線型水渠MN種植水生觀賞植物黃鳶尾（其中點M，N分別在BC和CA上，且M在圓心O的正西方向上，N在圓心O的正南方向上），并在區域MNC內種植柳葉馬鞭草．

（1）求水渠MN長度的最小值；

（2）求種植柳葉馬鞭草區域MNC面積的最大值（水渠寬度忽略不計）．

Answer 1

【答案】（1）百米；（2）平方米.

【解析】

（1）設，可表示出直線的方程，從而求得兩點坐標，進而將表示為關于的函數，利用導數求得最值；（2）方法一：將表示為，利用將面積表示出來，利用進行換元，從而化簡得：，再根據的范圍求得面積最大值；方法二：利用三角形面積公式，直接用表示出，再利用換元，也可得到，從而與方法一采用相同的求最大值方法求值.

【解】（1）以圓心為原點，建立平面直角坐標系，則圓的方程為

設點，

直線的方程為，令，得

直線的方程為，令，得

所以

令，

即，

則

令，得

當時，，則單調遞減；

當時，，則單調遞增；

所以當時，

所以

水渠長度的最小值為百米

（2）由（1）可知，，，且

則

設，因為，所以

所以，

所以當時，

種植柳葉馬鞭草區域面積的最大值為平方百米

另法：（2）因為，所以

由

所以

設，因為，所以

所以，

所以當時，

種植柳葉馬鞭草區域面積的最大值為平方百米