Question

【題目】已知函數，.

（1）求證：在區間上有且僅有一個零點，且；

（2）若當時，不等式恒成立，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用求導數，判斷在區間上的單調性，然后再證異號，即可證明結論；

（2）當時，不等式恒成立，分離參數只需時，恒成立，

設（），需，根據（1）中的結論先求出，再構造函數結合導數法，證明即可.

（1），

令，則，

所以在區間上是增函數，

則，所以在區間上是增函數.

又因為，

，

所以在區間上有且僅有一個零點，且.

（2）由題意，在區間上恒成立，

即在區間上恒成立，

當時，；

當時，恒成立，

設（），

所以.

由（1）可知，，使，

所以，當時，，當時，，

由此在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以.

又因為，

所以，從而，

所以.令，，

則，

所以在區間上是增函數，

所以，故.