Question

【題目】已知點在平行于軸的直線上，且與軸的交點為，動點滿足平行于軸，且.

（1）求出點的軌跡方程.

（2）設點，，求的最小值，并寫出此時點的坐標.

（3）過點的直線與點的軌跡交于.兩點，求證.兩點的橫坐標乘積為定值.

Answer 1

【答案】（1）點的軌跡方程為；（2）最小值為7，點坐標為；（3）證明見解析

【解析】

（1）設出點坐標，由此求出點坐標，利用則列方程，化簡后求得點的軌跡方程.

（2）由于是拋物線的焦點，根據拋物線的定義可知、、三點共線時的值最小，由點坐標和準線方程，求得最小值以及點的坐標.

（3）設出過點的直線方程，與聯立，利用韋達定理證得兩點的橫坐標乘積為定值.

（1）設動點，則由已知有，

故，，

因為，所以，

所以，

即：.

（2）由題意，點為拋物線的焦點，故即為點到準線的距離，

所以、、三點共線時的值最小，

即為點到準線的距離， 所以最小值為7，

此時點的縱坐標為點的縱坐標，代入，，

所以所求最小值為7，此時點的坐標為.

（3）由題意可設點.過點的直線為與聯立得：

，

所以，

所以 ，

所以.兩點的橫坐標乘積為定值.