Question

【題目】已知二次函數（為常數）滿足條件，且方程有兩個相等的實數根.

(1)求函數的解析式；

(2)是否存在實數使函數的定義域和值域分別為和？如果存在，求出的值;如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，,詳見解析

【解析】

（1）由題意可得，再有有兩個相等的實數根，即可求出，

（2）假設存在實數、滿足題意，配方可得，進而可得函數在區間上單調遞增，則有，，解之即可。

（1）二次函數（為常數）滿足條件，

所以，即，所以，

又因為有兩個相等的實數根，即有兩個相等的實根

即有兩個相等的實根，

所以，即

所以函數的解析式為

（2）假設存在實數、，使函數的定義域和值域分別為和，

由（1）可知 ，故，即，

又函數的對稱軸為，拋物線的開口向下，

故在區間上單調遞增，

則有，，即為方程的實根，

解得或，結合可得，

故存在符合題意。