Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），x∈R，
（1）若不等式f（x）＞4的解集為{x|x＜-3或x＞1}，求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-1，1]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數，判斷F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

【答案】分析：（1）先由已知不等式ax²+bx-3＞0的解集為{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax²+bx-3=0的兩根結合韋達定理，得a，b的值即可寫出F（x）的表達式；
（2）由于g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=，利用二次函數的圖象與性質得出實數k的取值范圍即可；
（3）根據f（x）是偶函數得到：，再結合題中條件：m•n＜0，設m＞n，則n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，計算出|m|＞0，從而F（m）+F（n）能大于零．
解答：解：（1）由已知不等式ax²+bx-3＞0的解集為{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax²+bx-3=0的兩根為-3，1，由韋達定理，得解得a=1，b=2．因此，
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=，
當或時，即k≥4或k≤0時，g（x）是單調函數．
（3）∵f（x）是偶函數∴f（x）=ax²+1，，
∵m•n＜0，設m＞n，則n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數解析式的求解及常用方法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．