Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）證明：AE⊥平面PCD；
（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在四棱錐P﹣ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，

∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB與平面PAD所成的角，

在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，

∴PB和平面PAD所成的角的大小為45°

（2）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，

由條件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂線定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，

∴CD⊥面PAC，

又AE面PAC，∴AE⊥CD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，

∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，

又PC∩CD=C，

綜上，AE⊥平面PCD．

（3）解：過點E作EM⊥PD，AM在平面PCD內的射影是EM，則AM⊥PD，

∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，

由已知得∠CAD=30°，

設AC=a，得PA=a，AD= ，PD= ，AE= ，

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AMPD=PAAD，

∴AM= = ，

在Rt△AEM中，sin∠AME= ．

∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值為 ．

【解析】（1）由線面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進而∠APB是PB與平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由線面垂直得CD⊥PA，由條件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能證明AE⊥平面PCD．（3）過點E作EM⊥PD，AM在平面PCD內的射影是EM，則AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．