Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

．直線l：x-2y+2=0與橢圓C相交于E、F兩點，且|EF|=

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P（-2，0），A、B為橢圓C上的動點，當PA⊥PB時，求證：直線AB恒過一個定點．并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程，E，F的坐標，根據離心率設a=2t，c=

3

t，則b可求得，把直線方程與橢圓方程聯立根據判別式求得t的范圍．根據線段EF的距離求得t，則橢圓方程可得．
（2）當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂），與橢圓方程聯立，根據

PA

•

PB

=0求得m，分別代入直線方程即可求得直線恒過的點．進而再看當直線l垂直于x軸時，可求得A，B的坐標，代入

PA

•

PB

=0符合題意．綜合答案可得．

解答：解：（1）設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），E（x₁，y₁）F（x₂，y₂）e=

c

a

=

3

2

令a=2t，c=

3

t則b=t
∴

x2

4t2

+

y2

t2

=1
由

x2+4y2=4t2 x-2y+2=0

得：2y²-2y+1-t²=0
△=4-4×2（1-t²）＞0∴t2＞

1

2

，|EF|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

1+4

1-4× 1-t2 2

=

5

∴t²=1
橢圓C的方程是：

x2

4

+y2=1
（2）當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

x2+4y2=4t2 y=kx+m

得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0

PA

•

PB

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0
∴12k²+5m²-16km=0（6k-5m）（2k-m）=0
∴m=

6

5

k或m=2k
當m=

6

5

k時，AB：y=kx+

6

5

k恒過定點(-

6

5

，0)
當m=2k時，AB：y=kx+2k恒過定點（-2，0），不符合題意舍去
當直線l垂直于x軸時，若直線AB：x=-

6

5

則AB與橢圓C相交于A(-

6

5

，-

4

5

)，B(-

6

5

，

4

5

)
∴

PA

•

PB

=(

4

5

，-

4

5

)•(

4

5

，

4

5

)=(

4

5

)2+(-

4

5

)(

4

5

)=0
∵PA⊥PB，滿足題意
綜上可知，直線AB恒過定點，且定點坐標為(-

6

5

，0)

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．注意討論直線斜率存在和不存在兩種情況．