Question

【題目】設函數．

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數的圖象與軸交于兩點，且，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，證明：為函數的導函數）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出切線的斜率，利用點斜式寫出直線方程；

（2）分析函數的單調性，只有當函數不單調時，函數圖象才可能與x軸有兩個交點，然后再利用零點存在定理證明兩個不同交點的存在性；

（3）由（2）得，相減得，用表示，通過研究單調性可得，再根據單調遞增，可得，從而得證.

解：（1）當時，，

則， ，

，

所以在點處的切線方程為，即.

（2）因為，

所以，

若時，則，則函數是單調遞增函數，與x軸最多一個交點，不滿足題意；

若時，令，則，

當時，，函數是單調遞減，

當時，，函數是單調遞增，

于是當時，函數取得極小值，

因為函數的圖象與軸交于兩點，

所以，即，

此時存在，，

存在，

，

故由在及上的單調性及曲線連續性可得，

當時，函數的圖象與軸交于兩點.

（3）由（2）得，

兩式相減得，，

解得：，

令，

則，

設

則，

所以在上單調遞減，

則有，而，

所以，

由（2）知，均為正數，

所以有，

因為單調遞增，

所以，

所以，

故.