Question

已知函數f（x）=ax-

1

x

+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)=-

2

e

x+

e

2

．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=2處取得極小值0，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對任意x1，x2∈[e，e2]，總有f（x₁）＞g（x₂）；
（Ⅲ）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）利用

f′(2)=0 f(2)=0

解出并檢驗即可得出；
（II）利用導數分別求出f（x）_min和g（x）_max，再證明f（x）_min-g（x）_max＞0即可；
（III）先求出導數f′（x），再對a分類討論即可得出．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

由題意得

f′(2)=a+ 1 4 - a+1 2 =0 f(2)=2a- 1 2 +b-(a+1)ln2=0

，
∴a=

1

2

，b=

3

2

ln2-

1

2

．
經檢驗符合題意．
（Ⅱ）f′(x)=

1

2

+

1

x2

-

3

2x

=

x2-3x+2

2x2

=

(x-2)(x-1)

2x2

，當x∈[e，e²]時，f'（x）＞0，
所以f（x）在[e，e²]上單調遞增，所以f(x)min=f(e)=

e

2

-

1

e

+

3

2

ln2-2，
g′(x)=-

2

e

，當x∈[e，e²]時，g'（x）＜0，g（x）在[e，e²]上單調遞減，所以     g(x)max=g(e)=

e

2

-2．
因為f(x)min-g(x)max=

3

2

ln2-

1

e

＞0，
所以對任意x1，x2∈[e，e2]，總有f（x₁）＞g（x₂）．
（Ⅲ）f′(x)=

ax2-(a+1)x+1

x2

=

(ax-1)(x-1)

x2

．
（1）當a=0時，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；
（2）當a＜0時，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；
（3）當a＞0時，
（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞

1

a

；
（ⅱ）若a=1，則f'（x）≥0恒成立，（在（0，1）和（1，+∞）上f'（x）＞0，f′（1）=0），得x＞0；
（ⅲ）若a＞1，由f'（x）＞0得，0＜x＜

1

a

或x＞1．
綜上所述，當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1）；
當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1）和(

1

a

，+∞)；
當a=1時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為(0，

1

a

)和（1，+∞）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．