Question

如圖，已知兩條直線L₁：2x-3y+2=0，L₂：3x-2y+3=0．有一動圓（圓心和半徑都在變動）與L₁，L₂都相交，并且L₁，L₂被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26，24，求圓心M的軌跡方程，并說出軌跡的名稱．

Answer 1

分析：設圓心M的坐標為（x，y），欲求其軌跡方程，即尋找其坐標間的關系，根據弦、弦心距、半徑三者之間的關系及點到直線的距離公式即可得到．

解答：解：設圓心M的坐標為（x，y），圓的半徑為r，
點M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂
根據弦、弦心距、半徑三者之間的關系，有
d12+(

26

2

)2=r2，
d22+(

24

2

)2=r2．
得d₂²-d₁²=5²．
根據點到直線的距離公式，得
d1=

|2x-3y+2|

13

，d2=

|3x-2y+3|

13

代入上式，
得方程(

2x-3y+2

13

)2-(

3x-2y+3

13

)2=25
化簡得x²+2x+1-y²=65．即

(x+1)2

65

-

y2

65

=1．
所以軌跡是雙曲線．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．