Question

已知函數，g（x）=，a，b∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）記函數h（x）=f（x）+g（x），當a=0時，h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，求實數b的取值范圍；
（3）記函數F（x）=|f（x）|，證明：存在一條過原點的直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點．

Answer 1

（1）當時，為單調增區間，
當時，為單調減區間， 為單調增區間．
（2）b＜1
（3）首先根據（1）的結論，討論可得只有0＜a＜時直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點．設切點的橫坐標分別為s、t且s＜t，可得l與y=F（x）的圖象有兩個切點分別為直線l與曲線在x∈（s，t）的切點和曲線在x∈（t，+∞）的切點．由此結合直線的斜率公式和導數的幾何意義列出關于a、x₁、y₁、x₂、y₂的關系式，化簡整理可得，再令=k（0＜k＜1），轉化為（k²+1）lnk=2k²﹣2．令G（k）=（k²+1）lnk﹣2k²+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理證出：存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0．由此即可得到原命題成立．

試題分析：（1）因為f'（x）=﹣+=，
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數，…（2分）
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
當0＜x＜a時，f'（x）＜0；當x＞a時，f'（x）＞0．
所以（0，a）為單調減區間，（a，+∞）為單調增區間．
綜上可得，當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
當a＞0時，函數f（x）的單調減區間為（0，a），單調增區間為（a，+∞）． …（4分）
（2）a=0時，h（x）=f（x）+g（x）=，
∴h'（x）=bx﹣2+=，…（5分）
h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，即h'（x）=0在（0，1）上有且只有一個根且不為重根，
由h'（x）=0得bx²﹣2x+1=0，…（6分）
（ i）b=0，x=，滿足題意；…（7分）
（ ii）b＞0時，b•1²﹣2•1+1＜0，即0＜b＜1；…（8分）
（ iii）b＜0時，b•1²﹣2•1+1＜0，得b＜1，故b＜0；
綜上所述，得：h（x）在（0，1）上有且只有一個極值點時，b＜1． …（9分）
（3）證明：由（1）可知：
（ i）若a≤0，則f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，
所以直線l與y=F（x）的圖象不可能有兩個切點，不合題意．…（10分）
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a處取得極值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥時，由圖象知不可能有兩個切點．…（11分）
故0＜a＜，設f（x）圖象與x軸的兩個切點的橫坐標為s，t（不妨設s＜t），
則直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點即為直線l與
和的切點．
y₁'=﹣=，y₂'=﹣+=，
設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則0＜x₁＜x₂，且
==﹣﹣，==+，=，
即=1﹣lnx₁…①；=1﹣lnx₂…②；a=，③
①﹣②得：﹣=﹣lnx₁+lnx₂=﹣ln，
由③中的a代入上式可得：（﹣）•，
即，…（14分）
令=k（0＜k＜1），則（k²+1）lnk=2k²﹣2，令G（k）=（k²+1）lnk﹣2k²+2，（0＜k＜1），
因為=1﹣＞0，=﹣＜0，
故存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0，
即存在一條過原點的直線l與y=F（x）的圖象有兩個切點．…（16分）
點評：本題給出含有分式和對數的基本初等函數，求函數f（x）的單調區間、討論函數f（x）+g（x）的極值點并證明了函數|f（x）|圖象與過原點的直線相切的問題．著重考查了基本初等函數的性質、利用導數研究函數的單調性、直線的斜率公式和用導數求函數圖象的切線等知識，屬于難題．