Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，C為圓周上一點，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E．

（1）求證：ABDE=BCCE；
（2）若AB=8，BC=4，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE，OC，AC，OC∩BE=F，則

∵CD是圓O的切線，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴AD∥OC，

∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BE，

∵AD⊥l，∴l∥BE，

∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，

∵∠EDC=∠BCA=90°，

∴△EDC∽△BCA，

∴ = ，

∴ABDE=BCCE

（2）解：由（1）可知四邊形EFCD是矩形，

∴DE=CF，

∵圓O的直徑AB=8，BC=4，

∴∠ABC=60°

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠EBA=30°，AE=4．

【解析】（1）連接BE，OC，OC∩BE=F，證明△EDC∽△BCA，即可證明ABDE=BCCE；（2）證明四邊形EFCD是矩形，△OBC是等邊三角形，即可得出結論．