Question

已知函數f（x）=

1

x

．
（1）若f(a)•(e-1)=

∫

e 1

f(x)dx，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=

∫

t 1

f(x)dx成立？并給予證明；
（3）結合定積分的幾何意義說明（2）的幾何意義．

Answer 1

分析：（1）求出原函數，可得定積分，即可求得a的值；
（2）先求出定積分，再構建函數，即可證明；
（3）連續函數f（x）在閉區間[a，b]上的定積分等于該區間上某個點x₀的函數值f（x₀）與該區間長度的積．

解答：解：（1）∵f(a)•(e-1)=

∫

e 1

f(x)dx，∴

1

a

•(e-1)=

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=，1∴a=e-1…（3分）
（2）

∫

t 1

f(x)dx=

∫

t 1

1

x

dx=lnx

|

t 1

=lnt
設

1

a

•(t-1)=lnt，∴a=

t-1

lnt

…（5分）
下面證明a∈[1，t]：a-1=

t-1

lnt

-1=

t-1-lnt

lnt

設g（t）=t-1-lnt（t＞1）則g′(t)=1-

1

t

=

t-1

t

＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上為增函數，當t＞1時，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1時lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=

t-1

lnt

-t=

t-1-tlnt

lnt

設h（t）=t-1-tlnt（t＞1）則h′(t)=1-(1•lnt+t•

1

t

)=-lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上為減函數，當t＞1時h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1時lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
綜上：當t＞1時，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=

∫

t 1

f(x)dx成立．…（11分）
（3）連續函數f（x）在閉區間[a，b]上的定積分等于該區間上某個點x₀的函數值f（x₀）與該區間長度的積，即

∫

b a

f(x)dx=f(x0)•(b-a)其中x₀∈[a，b]…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查定積分，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．