Question

【題目】已知點，點P為平面上的動點，過點P作直線l：的垂線，垂足為Q，且．

Ⅰ求動點P的軌跡C的方程；

Ⅱ設點P的軌跡C與x軸交于點M，點A，B是軌跡C上異于點M的不同的兩點，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ

【解析】

Ⅰ設,則,根據代入整理即可得P點的軌跡方程；

Ⅱ表示出MA方程并與軌跡C聯立,可得A的坐標,設出直線AB的方程并與C聯立,利用根于系數關系得到的坐標,進而得到,并用換元思想及二次函數最值可求出范圍

Ⅰ因為，設,則,

所以,,,,

因為,

所以,

整理得,

所以點P的軌跡C的方程為

Ⅱ根據題意知,設MA：,

聯立,解得,所以點,

設AB：,

聯立,消去x得,

設,,則,

因為,所以,

則,

所以,

設,則,

令,對稱軸為,所以y在上單調遞增,

所以當時,y取最小值,即取最小值,

所以最小值為,

則最小值為,

所以取值范圍是