Question

已知tanα=3，求下列各式的值：
（1）

4sinα-cosα

3sinα+5cosα

；
（2）

1

2sinαcosα+cos2α

．

Answer 1

分析：（1）將分式的分子和分母都除以cosα，結合同角三角函數的商數關系可得關于tanα的式子，再將tanα=3代入即可；
（2）首先利用“1的代換”將分子化成sin²α+cos²α，然后將分式的分子和分母都除以cos²α，結合同角三角函數的商數關系將原式化簡成為關于tanα的式子，最后將tanα=3代入即可求出原式的值．

解答：解：（1）∵原式=

4sinα-cosα

3sinα+5cosα

∴分子分母都除以cosα，得
原式=

4sinα cosα - cosα cosα

3sinα cosα + 5cosα cosα

=

4tanα-1

3tanα+5

4×3-1

3×3+5

=

11

14

（2）∵原式=

1

2sinαcosα+cos2α

∴將分子化成1=sin²α+cos²α，可得原式=

sin2α+cos2α

2sinαcosα+cos2α

再將分子分母都除以cos²α，得
原式=

sin2α cos2α + cos2α cos2α

2sinαcosα cos2α + cos2α cos2α

=

tan2α+1

2tanα+1

=

32+1

2×3+1

=

10

7

32+1

2×3+1

=

10

7

點評：本題給出角α的正切，求關于sinα、cosα的分式的值，著重考查了同角三角函數的基本關系的知識，屬于基礎題，解題時應該注意“弦化切”數學思想的運用．