Question

若（2x+

1

x

）ⁿ的展開式中，二項式系數最大的項只有第三項，則展開式中常數項的值為

 

．（用數字作答）

Answer 1

分析：利用二項展開式中中間項的二項式系數最大求出n，再用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為0求出常數項．

解答：解：∵二項展開式中中間項的二項式系數最大
又∵二項式系數最大的項只有第三項
∴展開式中共有5項
∴n=4
∴(2x+

1

x

)n=(2x+

1

x

)4
∵(2x+

1

x

)4展開式的通項為 Tr+1=

C

r 4

(2x)4-r (

1

x

)r=2^4-rC₄^rx^4-2r
令4-2r=0得r=2
∴展開式的常數項為T₃=4C₄²=24
故答案為：24

點評：本題考查二項式系數的性質：二項展開式中中間項的二項式系數最大，考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．