Question

已知函數(shù)f（x）=1n（ax+1）+

1-x

1+x

（x≥0，a為正實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線斜率k=f′（1），進(jìn)而可求切線方程
（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．通過(guò)討論a-2的正負(fù)，判斷導(dǎo)數(shù)在[0，+∞）上的符號(hào)，以判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（Ⅲ）結(jié)合（II）中函數(shù)單調(diào)區(qū)間，可求函數(shù)取得最小值的條件及最小值，從而可求a的范圍

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1n（x+1）+

1-x

1+x

則f′(x)=

1

1+x

-

2

(1+x)2

．…（2分）
所以f′（1）=0．又f（1）=ln2，因此所求的切線方程為y=ln2．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．…（5分）
（1）當(dāng)a-2≥0，即a≥2時(shí)，因?yàn)閤≥0，所以f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
（2）當(dāng)a-2＜0，即0＜a＜2時(shí)，令f′（x）=0，則ax²+a-2=0（x≥0），所以x=

2-a a

．
因此，當(dāng)x∈[0，

2-a a

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2-a a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

2-a a

，+∞），，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

2-a a

）…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）的最小值為f（0）=1，滿足題意．…（11分）
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

2-a a

，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

2-a a

）
則f（x）的最小值為f（

2-a a

），而f（0）=1，不合題意．
所以a的取值范圍是[2，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在切線方程求解、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解及利用單調(diào)性求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，注意分類討論思想的應(yīng)用．