Question

【題目】已知數列的前項和為，且.

(1)求數列的通項公式，并寫出推理過程；

(2)令，，試比較與的大小，并給出你的證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可根據數列通項與前項和之間的關系來進行求解，即當時，；當時，，這時可得到與的關系式，根據關系式的特點，可通過構造換元，令，從而得出數列是等差數列，先求出數列的通項，再求出數列的通項；（Ⅱ）根據數列的特點可利用錯位相減法求出，接著利用作差法進行比較，根據差式的特點這里可采用數學歸納法進行猜想證明，詳見解析．

試題解析：（Ⅰ）在中，令，可得，即，

當時，，∴，

∴，即，

設，則，即當時，，

又，∴數列是首項和公差均為1的等差數列．

于是，∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以，

由①-②，

得

∴，則

于是只要比較與的大小即可，

（1）當時，，此時，即，

（2）猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：

①當時，不等式成立；②假設時，不等式成立，即；

則當時，，

所以當時，不等式成立，

由①和②可知，當時，成立，

于是，當時，，即．

另證：要證，只要證：，只要證：，

由均值不等式得：，

所以，于是當時，，即．