Question

【題目】若點（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現．
（1）點M（x，y）橫、縱坐標分別由擲骰子確定，第一次確定橫坐標，第二次確定縱坐標，則點M（x，y）落在上述區域的概率？
（2）試求方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，點（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如圖的正方形區域，

其中p、q都是整數的點有6×6=36個，

點M（x，y）橫、縱坐標分別由擲骰子確定，即x、y都是整數，且1≤x≤3，1≤y≤3，

點M（x，y）落在上述區域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9個點，

所以點M（x，y）落在上述區域的概率P1=

（2）解：|p|≤3，|q|≤3表示如圖的正方形區域，易得其面積為36；

若方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根，則有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，

解可得p2+q2≥1，為如圖所示正方形中圓以外的區域，其面積為36﹣π，

即方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根的概率，P2= ．

【解析】（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整點的個數，進而分析可得點M的縱橫坐標的范圍，可得M的個數，由古典概型公式，計算可得答案；（2）是幾何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形區域，易得其面積，進而根據方程x2+2px﹣q2+1=0有兩個實數根，則有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，變形可得p2+q2≥1，分析可得其表示的區域即面積，由幾何概型公式，計算可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用幾何概型的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．