Question

已知曲線C：x2+

y2

a

=1，直線l：kx-y-k=0，O為坐標原點．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）當a=-1時，直線l與曲線C相交于兩點M，N，試問在曲線C上是否存在點Q，使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求實數λ的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）若直線l與x軸的交點為P，當a＞0時，是否存在這樣的以P為直角頂點的內接于曲線C的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據a與0與1的大小關系進行分類討論即可；
（2）當a=-1時，曲線C表示焦點在x軸上的等軸雙曲線，直線l：kx-y-k=0過曲線C的右頂點（1，0），不妨設為點M，設點N（x₂，y₂），把直線l的方程代入曲線C的方程，由根與系數的關系求得點N坐標及k值，由

OM

+

ON

=λ

OQ

，求得點Q的坐標，從而得出結論．
（3）先求出點P的坐標，根據條件設出過點P的直線方程l₁：y=k（x-1）與曲線C交于另一點A，根據根與系數的關系以及弦長公式求出|PA|；同理求出|PB|，最后結合|PB|=|PA|即可得到結論．

解答：解：（1）因為：x²+

y2

a

=1．
當a＜0時，曲線表示焦點在X軸上的雙曲線；
當a=1時，曲線表示單位圓；
當0＜a＜1時，曲線表示焦點在X軸上的橢圓；
當a＞1時，曲線表示焦點在y軸上的橢圓．
（2）直線l與曲線C都恒過定點（1，0），不妨記點M（1，0），
由

y=k(x-1) x2-y2=1

?（k²-1）x²-2k²x+k²+1=0，
可得另外一交點為N（x_N，y_N）
則xN=

k2+1

k2-1

，yN=

2k

k2-1

．
假設存在滿足條件的Q，則

OM

+

ON

=λ

OQ

．
則

1+xN=λxQ yN=λyQ

代入曲線C可得

1

λ2

(xQ2-yQ2)=1?λ2=(

2k 2

k2-1

)2-(

2k

k2-1

)2=4+

4

k2-1

＞4．
所以，當λ＜-2或λ＞2時．存在滿足條件的Q．
（3）由（2）知，點M（1，0）即點P（1，0）．
設過點P（1，0）的直線為l₁：y=k（x-1）與曲線C交于令一點A，
由

y=k(x-1) x2+ y2 a =1

?（a+k²）x²-2k²x+k²-a=0，
∴xA+xp=

2k2

a+k2

，xA•xp=

k2-a

a+k2

；
∴|PA|=

1+k2

•|x_A-x_p|=

1+k2

(xA+xp)2-4 xAxp

=

1+k2

•

2a

a+k2

．
同理可求過點P（1，0）的直線L_PB：y=-

1

k

（x-1）．|PB|=

1+ ( 1 k )2

•

2a

a+( 1 k )2

因為|PB|=|PA|??k³-ak²+ka-1=0?
即（k-1）[k²+（1-a）k+1]=0       
∴k=1或k²+（1-a）k+1=0?
當k²+（1-a）k+1=0時，△=（a-1）²-4?
由△＜0，得-1＜a＜3?0＜a＜3
由△=0，得a=3，此時，k=1
故，由△≤0，即0＜a≤3 時有一解?
由△＞0即a＞3 時有三解

點評：本題考查方程表示的曲線，弦長公式，兩個向量坐標形式的運算，一元二次方程根與系數的關系，求點Q的坐標是解題的難點．