Question

已知二次函數的最小值為，且關于的一元二次不等式的解集為。

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）設其中，求函數在時的最大值；

（Ⅲ）若（為實數），對任意，總存在使得成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）屬于三個二次之間的關系，由一元二次不等式的解集為 可知二次函數有兩個零點分別為-2,0.求得a與b的關系，再根據的最小值為-1，得的值求出解析式,( Ⅱ)由（Ⅰ）得出解析式再利用二次函數動軸定區間思想求解, （Ⅲ）利用( Ⅱ)得出的解析式，再利用單調性求得k的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）0,2是方程的兩根，，又的最小值即 

所以                                  .（4分）

（Ⅱ）

分以下情況討論的最大值 

（1）.當時，在上是減函數，

                         .（6分）

（2）.當時，的圖像關于直線對稱，

，故只需比較與的大小.

當時，即時，. （8分）

當時，即時，

；          .（9分）

綜上所得.                     .（10分）

（Ⅲ），函數的值域為

在區間上單調遞增，故值域為，對任意，總存在使得成立，則

                              .（14分）

考點：解析式求法,二次函數求最值,恒成立問題.