Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），設函數f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（x）的最小正周期與單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若A=

π

3

，b=f（

5π

6

），△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由兩向量的坐標，利用平面向量數量積運算法則列出f（x）解析式，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根據正弦函數的單調性即可確定出單調遞增區間；
（Ⅱ）由b=f（

5π

6

），根據第一問確定出f（x）的解析式求出b的值，利用三角形面積公式列出關系式，將b，sinA，以及已知面積代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函數f（x）=

m

•

n

=

3

sin2x+2+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（Ⅱ）b=f（

5π

6

）=2sin

11π

6

+3=2sin（2π-

π

6

）+3=-2sin

π

6

+3=-1+3=2，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，sinA=

3

2

，b=2，
∴c=1，
在△ABC中，利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2=3，
則a=

3

．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．