已知正項數列
在拋物線
上；數列
中，點
在過點（0，1），以
為斜率的直線上。
（1）求數列
的通項公式；
（2）若
成立，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由；
（3）對任意正整數
，不等式
恒成立，求正數
的取值范圍。
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
中，
，前
和
（Ⅰ）求證：數列是等差數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列
的前項和為
，是否存在實數
，使得
對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定常數
，定義函數
，數列
滿足
.
（1）若
，求
及
；
（2）求證：對任意
，；
（3）是否存在
，使得
成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
=2，點（
）在函數
的圖像上，其中
=
.
( 1 ) 證明：數列
}是等比數列；
（2）設
，求
及數列{
}的通項公式；
（3）記
，求數列{
}的前n項和
，并證明
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對數列
，規定
為數列的一階差分數列，其中
， 對自然數
，規定
為的階差分數列，其中
．
（1）已知數列的通項公式
，試判斷，
是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列首項
，且滿足
，求數列的通項公式。
（3）對（2）中數列，是否存在等差數列
，使得
對一切自然
都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。
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楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律。下圖是一個11階楊輝三角：
（1）求第20行中從左到右的第4個數；
（2）若第n行中從左到右第14個數與第15個數的比為
，求n的值；
（3）求n階（包括0階）楊輝三角的所有數的和；
（4）在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35。顯然，1+3+6+10+15=35。事實上，一般地有這樣的結論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數之和，一定等于第m+1斜列中第k個數。試用含有m、k
的數學公式表示上述結論，并給予證明。
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代入
中得
舍去
9分
遞增 13分
，求證：
；
，寫出
并猜想這個數列的通項公式達式.
的各項都是正數，前
項和為
,且對任意
，都有
.
； （2）求數列
的前項和為
，滿足
，
，證明：
；