Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x． （Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設a＞0，證明：當0＜x＜ 時，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（Ⅲ）若函數y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0 ， 證明：f′（x0）＜0．

Answer 1

【答案】解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞）， f′（x）= =﹣ ，
① 若a＞0，則由f′（x）=0，得x= ，且當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，
當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0， ）單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減；
②當a≤0時，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）單調遞增；
（II）設函數g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），則g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）= = ，
當x∈（0， ）時，g′（x）＞0，而g（0）=0，
所以g（x）＞0，
故當0＜x＜ 時，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（III）由（I）可得，當a≤0時，函數y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，
故a＞0，從而f（x）的最大值為f（ ），
不妨設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），0＜x1＜x2 ，
則0＜x1＜ ＜x2 ，
由（II）得，f（ ﹣x1）=f（ ）＞f（x1）=f（x2）=0，
又f（x）在（ ，+∞）單調遞減，
∴ ﹣x1＜x2 ， 于是x0= ，
由（I）知，f′（ x0）＜0．
【解析】（I）求導，并判斷導數的符號，確定函數的單調區間；（II）構造函數g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），利用導數求函數g（x）當0＜x＜ 時的最小值大于零即可，（III）設出函數y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點的橫坐標，根據（I）．（II）結論，即可證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．