Question

已知向量

a

=（cosx+sinx，2sinx），

b

=（cosx-sinx，-cosx），f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[

π

4

，

3π

4

]時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先求得f（x）=

2

cos（2x+

π

4

），根據(jù)周期公式可得f（x）的最小正周期；
（2）先求得2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，由函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可得當2x+

π

4

=π即x=

3π

8

時，取到f（x）的最小值-

2

．

解答： 解：f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinx（-cosx）
=cos²x-sin²x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=

2

cos（2x+

π

4

）
（1）T=

2π

2

=π  
（2）x∈[

π

4

，

3π

4

]時，2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]
∴當2x+

π

4

=

3π

2

即x=

5π

8

時，
取到f（x）的最小值-

2

．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．