Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是邊長為的正方形，側棱D₁D垂直于底面ABCD，且D₁D=3．
（1）點P在側棱C₁C上，若CP=1，求證：A₁P⊥平面PBD；
（2）求三棱錐A₁-BDC₁的體積V．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可得PB=，A₁P=2，A₁B=，滿足A₁P²+PB²=A₁B²，可得A₁P⊥PB，進而可得A₁P⊥PD，由線面垂直的判定定理可得結論；
（2）所求幾何體的體積等于四棱柱的體積減去四個體積相等的三棱錐的體積，由數據分別求得體積作差可得答案．
解答：解：（1）依題意，CP=1，C₁P=2，在Rt△BCP中，PB==，
同理可知，A₁P==2，A₁B== 
所以A₁P²+PB²=A₁B²，則A₁P⊥PB，
同理可證，A₁P⊥PD，
由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，
所以，A₁P⊥平面PBD．
（2）如圖，易知三棱錐A₁-BDC₁的體積等于四棱柱的體積減去四個體積相等的三棱錐的體積，
即=-4
=AB×AD×A₁A-4×（AB×AD）×A₁A
==2
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，涉及三棱錐體積的求解，屬中檔題．