Question

如圖，在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，點E在棱CC₁上，點E是棱C₁C上一點．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A₁E⊥BD
（2）試確定點E的位置，使得A₁-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）試確定點E的位置，使得四面體A₁-BDE體積最大．并求出體積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥BD，結合菱形的性質可得AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，進而得到A₁E⊥BD；
（2）由（1）得二面角A₁-BD-E的平面角為∠A₁OE，令CE=x，利用勾股定理，可得x值，進而確定E點的位置；
（3）過E作A₁O的垂線與H，則必有EH⊥平面A₁BD，從而dE-A1BD=EH，所以當EH最大時，四面體A₁-BDE體積最大．所以當E點和C₁重合時體積最大．代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵AA₁⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
又∵AA₁∩AC=A，AA₁，AC?平面AA₁C₁C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵A₁E?平面AA₁C₁C
∴A₁E⊥BD…（4分）
解：（2）由（1）得BD⊥平面AA₁C₁C，
∴二面角A₁-BD-E的平面角為∠A₁OE．
令CE=x，則易得A1O=

AA12+AO2

=

19

，OE=

OC2+CE2

=

x2+3

，
A1E=

A1C12+C1E2

=

12+(4-x)2

由A1E2=A1O2+OE2⇒x=

3

4

…（8分）
（3）∵VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD
另一方面，∵BD⊥平面AA₁C₁C，
∴平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C，
過E作A₁O的垂線與H，則必有EH⊥平面A₁BD，從而dE-A1BD=EH
∴當EH最大時，四面體A₁-BDE體積最大．
∴當E點和C₁重合時體積最大．此時EH=

8 57

19

，…（11分）
從而VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD=

8 3

3

…（13分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的性質，難度中檔．