Question

已知動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設M（0，-1），若斜率為k（k≠0）的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B，若要使|MA|=|MB|，試求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵x²-y²=1，
∴c=．
∵動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為
∴|PF₁|+|PF₂|=
∵|F₁F₂|=2，|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|
∴動點P是以F₁，F₂為焦點的橢圓，且a=，b=1
∴P點的軌跡方程為+y²=1．
（2）設l：y=kx+m（k≠0），則
將②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0 （*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB中點Q（x₀，y₀）的坐標滿足：
x₀=
即Q
∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂線上，
∴k•=-1，
∴m=…③
又由于（*）式有兩個實數根，知△＞0，
即 （6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0 ④，
將③代入④得12[1+3k²-（）²]＞0，
解得-1＜k＜1，由k≠0，
∴k的取值范圍是k∈（-1，0）∪（0，1）．
分析：（1）根據動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，可得動點P是以F₁，F₂為焦點的橢圓，從而可求動點P的軌跡方程；
（2）設出直線方程，將直線方程代入橢圓方程，利用|MA|=|MB|，及方程有兩個實數根，即可求得k的取值范圍．
點評：本題以雙曲線為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查參數范圍的求解，解題的關鍵是直線與橢圓聯立，利用韋達定理求解．