【題目】已知函數
，
．
（
）若函數
的最小值為
，求
的值．
（
）證明：
．
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
試題（1）由題意得，
的最小值問題，需要借助于導數，對比極值與端點值確定，而由最值也可確定出未知量
；（2）借助第一問，將問題轉化成最常見的形式：
.
試題解析：（1）
的定義域為
，且
.若
，則
，于是
在上單調遞增，故無最小值，不合題意，若
，則當
時，
;當
時，.故在
上單調遞減，在
上單調遞增.于是當
時，取得最小值
.由已知得
, 解得
.綜上，.
（2）①下面先證當
時，
.因為, 所以只要證
.由（1）可知
, 于是只要證
，即只要證
, 令
，則
,當
時，
, 所以
在
單調遞增，所以當時，
，即，故當時，不等式成立 .② 當
時，由（1）知, 于是有
，即
,所以
, 即
,又因為
, 所以
,所以
,綜上，不等式
成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，且
，
．
（1）證明：
平面
；
（2）在線段
上，是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？如果存在，求
的值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】即將于
年夏季畢業的某大學生準備到貴州非私營單位求職，為了了解工資待遇情況，他在貴州省統計局的官網上，查詢到
年到
年非私營單位在崗職工的年平均工資近似值（單位：萬元），如下表：
年份 |
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序號 |
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年平均工資 |
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（1）請根據上表的數據，利用線性回歸模型擬合思想，求
關于
的線性回歸方程
（
，
的計算結果根據四舍五入精確到小數點后第二位）；
（2）如果畢業生對年平均工資的期望值為8.5萬元，請利用（1）的結論，預測年的非私營單位在崗職工的年平均工資（單位：萬元。計算結果根據四舍五入精確到小數點后第二位），并判斷年平均工資能否達到他的期望.
參考數據：
，
，
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附：對于一組具有線性相關的數據：
，
，
，
，
其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，新苗中學數學教師對新入學的
名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于
小時的有
人，余下的人中，在高三模擬考試中數學成績不足
分的占
，統計成績后，得到如下的
列聯表：
分數大于等于 | 分數不足 | 合計 | |
周做題時間不少于 | 4 | 19 | |
周做題時間不足 | |||
合計 | 45 |
（
）請完成上面的列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”．
（
）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數大于等于
分和分數不足分的兩組學生中抽取
名學生，設抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數為
，求的分布列（概率用組合數算式表示）．
（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學生中隨機抽取
人，求這些人中周做題時間不少于小時的人數的期望和方差．
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓
與
軸交于
、
兩點（點在點的左側），
、
是分別過、點的圓
的切線，過此圓上的另一個點
（點是圓上任一不與、重合的動點）作此圓的切線，分別交、于
、
兩點，且
、
兩直線交于點
．
（
）設切點坐標為
，求證：切線
的方程為
．
（
）設點坐標為
，試寫出
與
的關系表達式（寫出詳細推理與計算過程）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是由容量為100的樣本得到的頻率分布直方圖．其中前4組的頻率成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為a，在
到
之間的數據個數為b，則a，b的值分別為（ ）
A.
，78
B.，83
C.
，78
D.，83
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某單位全體員工年齡頻率分布表為：
年齡（歲） | [25，30） | [30，35） | [35，40） | [40，45） | [45，50） | [50，55） | 合計 |
人數（人） | 6 | 18 | 50 | 31 | 19 | 16 | 140 |
經統計，該單位35歲以下的青年職工中，男職工和女職工人數相等，且男職工的年齡頻率分布直方圖和如圖所示：
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求該單位男女職工的比例；
（Ⅲ）若從年齡在[25，30）歲的職工中隨機抽取兩人參加某項活動，求恰好抽取一名男職工和一名女職工的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為拋物線
：
的焦點，過的動直線交拋物線于
，
兩點．當直線與
軸垂直時，
．
（1）求拋物線的方程；
（2）設直線
的斜率為1且與拋物線的準線
相交于點
，拋物線上存在點
使得直線
，
，
的斜率成等差數列，求點的坐標．
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